Klasse 13: gebrochenrationale Funktionen |
erarbeitet
von R. Bothe |
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Lösungshinweise: |
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Aufgabe, Thema: |
Arbeitsschritte, Erklärungen: |
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a) |
hebbare Definitionslücke: |
- Umformen des Funktionsterms: · konstanten Faktor ausklammern, · Zähler- und Nennerterm jeweils in Produkt umformen, - Zähler- und Nennerpolynom gegeneinander kürzen, (Der erhaltene Term heiße TS.) Eine hebbare Definitionslücke a liegt vor, wenn Zählerfunktion
und Nennerfunktion eine gemeinsame Nullstelle x0 = a haben und für
den Nenner TN des gekürzten
Terms gilt: (TS ist dann der Term der stetigen
Fortsetzung der Funktion f. Die stetige Fortsetzung sei mit fS
bezeichnet.) oder: x0 heißt hebbare Definitionslücke, wenn
die Funktion f an der Stelle x0 nicht definiert ist und
an der Stelle x0 einen Grenzwert
hat. |
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Grenzwert an der Stelle a: |
Weg 1: |
· fS(a) berechnen. · fS(a) ist der Grenzwert an der Stelle a. |
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Weg 2: |
· f(a - h), h>0 berechnen, · Grenzwert von f(a - h)
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b) |
Extrempunkte: |
- Funktionsterm sinnvoll umformen: siehe a)!! (Die Funktion fS erfüllt alle Anforderungen
zur Bewältigung der folgenden Aufgaben. So kann ihr Funktionsterm als
Ausgangsform für alle weiteren Berechnungen genutzt werden.) - f ’(x) = 0 und f “(x) > 0 oder f “(x) < 0. |
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Wendepunkte: |
- f “(x) = 0 und f “’(x) ¹ 0. |
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Asymptoten: |
senkrechte Asymptoten: |
Nullstellen der Nennerfunktion der Funktion fS berechnen. |
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schräge Asymptoten: |
· |
Funktionsterm der Funktion fS umformen (Polynomdivision durchführen), |
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· |
Grenzwert des „Restquotienten“ muss Null sein, |
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· |
ganzrationaler Teil des Funktionsterms ist Term der Asymptote. |
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waagerechte Asymptote: (wenn
Grad der Zählerfunktion gleich Grad der Nennerfunktion ist.) |
Grenzwert der Funktion fs für x gegen ±¥ bestimmen. oder Vorgehensweise siehe schräge Asymptote. |
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c) |
Tangente an der Stelle -1: |
· |
Gleichung der Tangente: y = mx + n, |
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Anstieg berechnen: m = fS ’(-1), |
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Funktionswert fS(-1) berechnen, |
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· |
in y = mx + n einsetzen (y = fS(-1), m=fS’(-1), x = -1) und erhaltene Gleichung nach n umformen. |
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d) |
Ansatz zur Flächenberechung: |
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Schnittstellen des Graphen der Funktion fS und der Asymptote berechnen, |
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Gleichung der Differenzfunktion bestimmen, |
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Ansatz für Integralfunktion bzw. Integralfunktionen bestimmen, |
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Betrag bilden bzw. Beträge der Funktionswerte bestimmen und addieren. |
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