Klasse 13 – Grundregeln für das Bilden von Ableitungen: |
erarbeitet
von R. Bothe |
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| Aufgabenübersicht Klasse 13 | Hinweise zum Ableiten von Funktionen | |
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B7: (Produktregel) |
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Rechenweg: |
Kommentar, Erklärung, Regel: |
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f(x) = x2 × sin x |
Die Funktion f hat die Form f(x)
= u(x) ×
v(x) (Produkt
zweier Terme, die von einer Variablen abhängig sind) Funktionen dieser Form werden mit Hilfe der Produktregel (nicht zu verwechseln mit der f ’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x) Kurzform: f ’ = u’× v + u × v’ |
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u(x) = x2 à u’(x) = 2x
v(x) = sin
x à
v’(x) = cos x |
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f ’(x) = 2x × sin x + x2 × cos x |
Bilden der 1. Ableitung mit Hilfe der Produktregel. |
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Das Umformen
des Funktionsterms in ein Produkt bringt Vorteile bei der Berechnung von
Extremstellen.
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f ’(x) = 2x × sin x + x2 × cos x f“(x) = 2 × (1 × sin x +x × cos x ) + 2x × cos x + x2 × (-sin x) = 2 sin x + 2x cos x + 2x cos x – x2 sin x = 2 sin x + 4x cos x – x2
sinx = 4x cos x + (2 - x2) sinx |
Will man die 2.
Ableitung bestimmen, ist die Form einer Summe oft günstiger.
Bestimmen der 2. Ableitung mit Hilfe der Summen-, Faktor- und Produktregel. |
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