Klasse 13: Partialbruchzerlegung					erarbeitet von R. Bothe
| Aufgabenübersicht Klasse 13 | weiteres Einführungsbeispiel | B6 |
Einführung:
Addiert man zwei oder mehrere Brüche mit linearen Nennern, so entsteht ein gebrochenrationaler Term.
zum Beispiel:
Bei der Partialbruchzerlegung versucht man diesen Vorgang umzukehren, indem man einen komplizierten gebrochenrationalen Term in seine einfachen Bestandteile zerlegt. Die Zerlegung eines komplizierten gebrochenrationalen Terms in eine Summe einfacher Teilbrüche wird Partialbruchzerlegung genannt. Bei der Zerlegung gebrochenrationaler Terme in Partialbrüche kann man sich auf echtgebrochene Terme beschränken, denn jeder unechtgebrochene Term lässt sich durch Polynomendivision (auch Partialdivision genannt) in einen ganzrationalen und einen echtgebrochen rationalen Anteil zerlegen. Ich werde den Vorgang an dem eingangs angeführten Beispiel erklären:
Der Ausdruck				soll in seine Partialbrüche zerlegt werden.
/(1) Die Nenner der Teilbrüche erhält man, indem man die Summe x^2 - 2x - 3 in ein Produkt zerlegt. Mit Hilfe der Lösungen x1 = -1 und x2 = 3 der Gleichung x2 - 2x - 3 = 0 erhält man das Produkt: x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3). /(2) Somit kann eine Zerlegung des Terms nur wie folgt aussehen:
/(3) Zur Berechnung von A und B multiplizieren wir die obige Gleichung mit dem Hauptnenner (x + 1)(x - 3) und erhalten: 5x - 7 = (x - 3)×A + (x + 1)×B /(4) Diese Gleichung muss für alle Werte von x erfüllt sein. Wenn wir für x nacheinander zwei verschiedene Zahlen einsetzen, entsteht ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen, dass zu lösen ist. Besonders einfach wird dieses Verfahren, wenn wir für x Werte einsetzen, so dass die Faktoren vor den Variablen A und B Null werden: x = 3: 8 = 4 B Û B = 2 x = -1: -12= -4 A Û A = 3 Somit erhalten wir den (erwarteten) Term:
Das oben verwendete Verfahren zur Ermittlung der Partialbrüche nennt man Einsetzverfahren. (weiteres Beispiel) Auch das hier nicht beschriebene Verfahren des Koeffizientenvergleichs würde zum gleichen Ergebnis führen.
Merke!	- Ist u eine n-fache Nullstelle des Zählerterms, so müssen im Ansatz für die Partialbruchzerlegung die Nenner (x - u)^n, (x - u)^n^-1, ... , (x - u)^2 und (x - u) vorkommen. (Beispiel )
	- Wenn im Nenner ein quadratischer Ausdruck steht, der keine reellen Nullstellen hat, so muss der Zähler die Form A×x + B haben. (Beispiel)
	- Achte stets darauf, dass der Bruch, der in Partialbrüche zerlegt werden soll, stets ein echt gebrochener Term ist. Führe bei unecht gebrochenen Termen zunächst die Polynomendivision durch.
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